Кольцом называется множество элементов, на котором определены две операции – сложение и умножение, и в выполняются следующие аксиомы:
R.1. Множество является аддитивной абелевой группой.
R.2. Для любых двух элементов и из определено их произведение: (замкнутость операции умножения).
R.3. Для любых трех элементов , и из выполняется ассоциативный закон, т.е. и .
R.4. Для любых трех элементов , и из выполняется дистрибутивный закон, т.е. справедливы равенства: и
Если операция умножения ассоциативна, т.е. для любых cправедливо равенство (ab)c = a(bc), то кольцо называется ассоциативным.
Если операция умножения коммутативна, т.е. для любых справедливо равенство ab = ba , то кольцо называется коммутативным.
Если существует единица, т.е. такой элемент 1 , что для любого справедливо равенство 1а = а1 = а, то кольцо называется кольцом с единицей.
При обычных операциях сложения и умножения кольцом является: 1. Множество целых чисел. 2. Множество рациональных чисел. 3. Множество действительных чисел. 4. Множество, состоящее лишь из одного числа 0. 5. Множество четных чисел и вообще множество целых чисел, кратных некоторому числу n.
Коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.
Подполем называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в поле.
Примеры полей.
Рациональные числа.
Комплексные числа.
Вещественные числа.
Множество комплексных чисел a + bi с любыми рациональными a, b.
Множество всех рациональных функций с действительными коэффициентами от одного или нескольких переменных.
Как всякое кольцо, поле является группой относительно операции сложения. Все элементы поля, не равные нулю, образуют группу относительно операции умножения.
Характеристика поля — наименьшее положительное целое n число такое, что сумма n копий единицы равна нулю: n * 1 = 0
Если такого числа не существует то характеристика равна 0 по определению.
Теория
КольцомЕсли операция умножения ассоциативна, т.е. для любых
Если операция умножения коммутативна, т.е. для любых
Если существует единица, т.е. такой элемент 1 , что для любого
При обычных операциях сложения и умножения кольцом является:
1. Множество целых чисел.
2. Множество рациональных чисел.
3. Множество действительных чисел.
4. Множество, состоящее лишь из одного числа 0.
5. Множество четных чисел и вообще множество целых чисел, кратных некоторому числу n.
Коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.
Подполем называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в поле.
Примеры полей.
Как всякое кольцо, поле является группой относительно операции сложения. Все элементы поля, не равные нулю, образуют группу относительно операции умножения.
Характеристика поля — наименьшее положительное целое n число такое, что сумма n копий единицы равна нулю: n * 1 = 0
Если такого числа не существует то характеристика равна 0 по определению.
Полезные ресурсы:
Справочник математических формул, примеры и задачи с решениями http://www.pm298.ru/kolc.php
Научная библиотека естественно-научных изданий http://www.sernam.ru/book_tec.php?id=77
Источники:
http://www.pm298.ru/
http://www.mathprofi.ru/
http://www.math4you.ru/